雅可比伪逆

雅可比矩阵不可逆时用的「替代逆」，给出误差最小、关节动得最少的解。

雅可比矩阵 J 把关节速度 θ̇ 映射成末端速度 ẋ：ẋ = Jθ̇。反求关节速度要用 J 的逆，但 J 常不是方阵（7 关节臂的 J 是 6×7），或在奇异位形（某些方向动不了的姿态）附近不可逆。这时改用 Moore-Penrose 伪逆 J⁺（Moore 1920 年、Bjerhammar 1951 年、Penrose 1955 年各自独立提出）：有精确解时，它给出所有解里关节动得最少（范数最小）的那个；没有精确解时，给出误差最小的最小二乘解。J 满秩且关节多于任务维度时 J⁺ = Jᵀ(JJᵀ)⁻¹。它是数值逆运动学的基本工具，但接近奇异时解会暴涨，实践中常改用阻尼最小二乘法。

例子7 自由度机械臂按 θ̇ = J⁺ẋ + (I − J⁺J)φ 求关节速度：前一项让末端跟上期望速度 ẋ；后一项把任意向量 φ 投影到零空间，只改肘部等姿态、不影响末端，可用来避开关节限位（这种用法由 Liégeois 1977 年提出）。

也叫

Moore-Penrose 伪逆、广义逆、J⁺、J†

相关

雅可比矩阵、数值逆解、阻尼最小二乘法、零空间、奇异位形、运动学冗余

来源

Buss, Introduction to Inverse Kinematics with Jacobian Transpose, Pseudoinverse and Damped Least Squares methods
Wikipedia: Moore–Penrose inverse
Lynch & Park, Modern Robotics（2017）6.2 节：数值逆运动学