李群

既是群又是光滑流形的数学对象，机器人里的旋转和位姿都属于李群。

李群以挪威数学家 Sophus Lie（1842–1899）命名，指一个同时也是光滑流形的群，而且乘法和求逆都是光滑运算。「群」保证元素能相乘（两次旋转合成一次）、能求逆；「流形」（局部看像平直空间的曲面）保证能求导、做优化。机器人最常用两个：SO(3)，全体三维旋转矩阵；SE(3)，旋转加平移的刚体位姿。它们在单位元处的切空间叫李代数，如 SO(3) 对应由反对称矩阵组成的 so(3)，两者用指数映射互相转换。好处是可以在三维向量上做加减和梯度下降，再映射回旋转，保证结果仍是合法旋转。SLAM、视觉里程计、状态估计、位姿优化和指数积公式都建立在它上面。

例子视觉 SLAM 优化相机朝向时，不直接改旋转矩阵 R 的 9 个数，而是求一个三维小增量 δ，再用 R ← R·exp([δ]×) 更新（[δ]× 是 δ 对应的反对称矩阵，exp 是矩阵指数），更新后 R 仍是合法的旋转矩阵。

也叫

矩阵李群、连续变换群

相关

特殊正交群 SO(3)、指数映射、反对称矩阵、伴随变换、指数积公式、旋量理论

来源

Wikipedia: Lie group
Solà et al., A micro Lie theory for state estimation in robotics (arXiv:1812.01537)
Lynch & Park, Modern Robotics（2017）第 3 章：SO(3)、SE(3) 与李代数