反对称矩阵

转置等于自身相反数的矩阵；3×3 时能把叉乘写成矩阵乘法。

反对称矩阵满足 Aᵀ = −A，对角线全为 0。机器人学里最常用的是 3×3 的情形：给定向量 ω = (ω₁, ω₂, ω₃)，构造矩阵 [ω] = [[0, −ω₃, ω₂], [ω₃, 0, −ω₁], [−ω₂, ω₁, 0]]，则 [ω]v 恰好等于叉乘 ω×v。把向量变成这个矩阵的操作叫 hat（记作 ω^ 或 [ω]×），反过来从矩阵取回向量叫 vee。它的重要性在于：所有 3×3 反对称矩阵组成旋转群 SO(3) 的李代数 so(3)，可以理解为「无穷小旋转」；对它取矩阵指数就得到旋转矩阵，闭式结果就是罗德里格斯公式。推导角速度、旋转矩阵的导数、雅可比矩阵时都会反复用到它。

例子取 ω = (0,0,1)（绕 z 轴的单位角速度），v = (1,0,0)：[ω]v = (0,1,0)，和叉乘 ω×v 结果相同，意思是 x 轴上那个点此刻正朝 y 方向运动。

也叫

斜对称矩阵、叉乘矩阵、hat 算子、Cross-Product Matrix、[ω]×

相关

罗德里格斯公式、旋转矩阵、特殊正交群 SO(3)、李群、指数映射、旋量理论

来源

Wikipedia: Skew-symmetric matrix
Wikipedia: Rodrigues' rotation formula