四元数双倍覆盖

单位四元数 q 和 −q 表示同一个旋转，每个姿态都对应两个四元数。

用单位四元数 q = (w, x, y, z) 表示旋转时，q 和 −q 得到完全相同的旋转矩阵：旋转公式对 q 是二次的，符号相互抵消。数学上，单位四元数组成的三维球面 S³ 到旋转群 SO(3) 是二对一映射（双倍覆盖），每个姿态对应球面上一对对径点。这在具身智能里是常见坑：同一个末端朝向在数据里可能时而是 q、时而是 −q，网络直接回归四元数并用普通 L2 损失，会把相同的姿态当成相差很大；衡量差异应该用 1 − |q₁·q₂|，或取 ‖q − q̂‖ 与 ‖q + q̂‖ 中较小者。做球面插值前若点积为负要先翻号，否则会绕远路。Zhou 等人（2019）进一步证明四维及以下的旋转表示都不连续，所以不少策略改用 6D 旋转表示。

例子绕 z 轴转 90° 的四元数是 q = (0.707, 0, 0, 0.707)（w 在前）；−q = (−0.707, 0, 0, −0.707) 相当于多转一整圈 360°，姿态完全一样。常见的规范化做法是强制 w ≥ 0。

也叫

q 与 -q 等价、四元数符号歧义、Quaternion Sign Ambiguity、双覆盖

相关

四元数、6D 旋转表示、球面线性插值、旋转测地距离、特殊正交群 SO(3)、四元数分量顺序约定（wxyz / xyzw）

来源

Wikipedia: Quaternions and spatial rotation
Wikipedia: 3D rotation group（S³ 到 SO(3) 的二对一覆盖）
On the Continuity of Rotation Representations in Neural Networks (arXiv 1812.07035)