五次多项式插值

用五次多项式连接起点和终点，同时对齐两端的位置、速度和加速度。

五次多项式插值是机器人点到点轨迹规划最基础的方法之一。把关节角或位置写成 q(t) = a₀ + a₁t + … + a₅t⁵，六个系数正好由六个边界条件唯一确定：起点和终点各自的位置、速度、加速度。三次多项式只能约束两端位置和速度，起止瞬间加速度会突变，加加速度（jerk，加速度的变化率）在理论上无穷大，容易引起振动；五次多项式能让两端加速度也为零，全程加速度连续、加加速度有限，起停更平稳。代价是同样时长下峰值速度更高，需检查是否超出关节限速。两端速度、加速度都为零时，归一化形式为 s(τ) = 10τ³ − 15τ⁴ + 6τ⁵（τ = t/T，T 为总时长），与最小加加速度轨迹一致。经过多个路点时可逐段拼接，保证路点处加速度也连续。

例子Peter Corke 的 Robotics Toolbox for Python 中，jtraj() 用五次多项式生成关节空间轨迹，默认起止速度和加速度为零；quintic() 生成单个变量的同类轨迹。

也叫

五次多项式轨迹、五次多项式时间缩放、Quintic Polynomial Trajectory、Quintic Time Scaling

相关

轨迹插值、三次样条插值、最小加加速度轨迹、加加速度、梯形速度曲线、时间参数化

来源

Lynch & Park, Modern Robotics, Section 9.2 Polynomial Time Scaling (preprint PDF)
Robotics Toolbox for Python: Trajectories (quintic / jtraj / mtraj)