罗德里格斯公式

已知旋转轴和转角，直接算出三维旋转矩阵的公式。

罗德里格斯公式以法国数学家 Olinde Rodrigues 命名（他在 1840 年发表了相关结果），也有学者认为应归功于欧拉。它回答一个问题：绕单位向量 k 表示的轴转 θ 角，对应的旋转矩阵是什么。矩阵形式为 R = I + sinθ·K + (1−cosθ)·K²，其中 I 是 3×3 单位矩阵，K 是 k 的反对称矩阵（K 乘任意向量 v 等于叉乘 k×v）。它把轴角表示（用一根轴加一个角描述旋转）换成旋转矩阵，本质上是旋转群 SO(3) 上指数映射的闭式解：exp(θK) 的无穷级数正好化简成这三项。机器人里用得很多，比如用指数积公式算正运动学、把轴角形式的动作转成姿态；OpenCV 里把旋转向量转成旋转矩阵的函数就叫 cv2.Rodrigues。

例子绕 z 轴（k = (0,0,1)）转 90°：sin90° = 1，cos90° = 0，代入得 R = I + K + K²，算出来把 x 轴方向 (1,0,0) 转到 y 轴方向 (0,1,0)，和直觉一致。

也叫

罗德里格旋转公式、罗德里格斯旋转公式、欧拉有限旋转公式

相关

轴角、旋转矩阵、反对称矩阵、指数映射、特殊正交群 SO(3)、指数积公式

来源

Wikipedia: Rodrigues' rotation formula
Wikipedia: Olinde Rodrigues