拉格朗日方程

从动能和势能出发推导机器人运动方程的方法，不必逐个分析约束力。

拉格朗日力学由拉格朗日提出，集中写在他 1788 年的《分析力学》里。做法是先写拉格朗日量 L = T − V（T 为动能，V 为势能），再对每个广义坐标 q_i（如关节角）列方程 d/dt(∂L/∂q̇_i) − ∂L/∂q_i = τ_i，τ_i 是作用在该坐标上的广义力（如电机力矩）。好处是只算能量，关节间的约束力自动消掉，方程个数等于自由度数。对机械臂整理后得到标准形式 M(q)q̈ + C(q,q̇)q̇ + g(q) = τ：M 是质量矩阵，C 项含科里奥利力和离心力，g 是重力项。这组方程是计算力矩控制、重力补偿、模型预测控制和物理仿真的基础；手推适合两三个关节的教学例子，大型机器人实际用递归牛顿-欧拉等算法数值计算。

例子单摆：摆长 l、质量 m、摆角 θ，动能 T = ½ml²θ̇²，势能 V = −mgl·cosθ，代入得 ml²θ̈ + mgl·sinθ = τ，就是熟悉的单摆方程。

也叫

拉格朗日动力学、拉格朗日法、欧拉-拉格朗日方程、第二类拉格朗日方程、Lagrangian Dynamics

相关

牛顿-欧拉方程、广义坐标、质量矩阵、科里奥利力与离心力项、正动力学、逆动力学

来源

Lagrangian mechanics - Wikipedia
Underactuated Robotics (MIT) - Multi-Body Dynamics