Plücker 坐标（Plücker 射线嵌入）

用方向加矩共 6 个数表示空间直线，也常用来编码每个像素的相机射线。

Plücker 坐标由 19 世纪德国数学家 Julius Plücker 提出，用 6 个数描述三维空间里的一条直线：方向 d，和矩 m = p × d（p 是直线上任意一点，× 是叉乘）。p 取直线上哪一点 m 都不变，且 d·m = 0。它在机器人学里很基础：旋量理论里的关节轴、Featherstone 的空间向量动力学都建立在 Plücker 坐标上。近年它以「Plücker 射线嵌入」出现在生成模型里：对图像每个像素，用相机中心 o 和该像素的射线方向 d 算出 (o × d, d)，得到 6 通道的图，作为相机位姿条件输入。CameraCtrl（2024）沿用 Light Field Networks（2021）的做法，认为这比直接输入内外参矩阵更容易让网络把相机信息和像素对应起来，带相机控制的视频生成和世界模型常用它。

例子相机在原点、朝 z 轴看，图像中心像素的射线方向 d = (0, 0, 1)，o × d = 0，嵌入为 (0, 0, 0, 0, 0, 1)；相机向侧面平移后 o 改变，同一像素的 o × d 随之变化，网络由此感知相机移动。

也叫

普吕克坐标、Plücker 嵌入、Plücker Embedding、Plücker Ray Map

相关

旋量理论、空间向量代数、相机外参、相机内参、视频生成模型、世界模型

来源

Wikipedia: Plücker coordinates
CameraCtrl: Enabling Camera Control for Text-to-Video Generation (arXiv 2404.02101)
Roy Featherstone: Spatial vector teaching materials（Plücker Basis Vectors）