控制李雅普诺夫函数

一个类似能量的函数：只要总能选出控制让它下降，系统就能被稳到目标。

李雅普诺夫函数 V(x) 类似系统的「能量」：在目标点为 0，其他地方为正。普通李雅普诺夫函数用来分析一个设计好的闭环是否稳定；控制李雅普诺夫函数面向还没定控制律、带输入 u 的系统：若在每个非目标状态都存在某个 u 使 V̇ < 0，系统就能被镇定到目标。这一理论在 1980 年代由 Artstein 和 Sontag 提出并发展，Sontag 还给出了直接由 CLF 构造控制律的通用公式。机器人中常用 CLF-QP：每个控制周期求一个满足 V̇ ≤ −λV（按指数速度收敛）且力矩尽量小的 u，方便同时加上力矩上限、摩擦锥等约束。Ames 等人把它用于双足行走；它也常和控制障碍函数放进同一个二次规划，安全约束为硬约束，收敛约束加松弛变量作软约束。

例子一阶系统 ẋ = u，取 V = x²/2，则 V̇ = x·u。要求 V̇ ≤ −V（即 λ = 1）：在 x = 2 时条件化为 2u ≤ −2，即 u ≤ −1。CLF-QP 在满足条件的 u 里挑绝对值最小的 u = −1，状态随之按指数速度收敛到 0。

也叫

控制李亚普诺夫函数、控制 Lyapunov 函数、CLF-QP

相关

李雅普诺夫稳定性、控制障碍函数、二次规划、混合零动态、反馈线性化、最优控制

来源

Wikipedia: Control-Lyapunov function
Ames, Galloway, Sreenath, Grizzle: Rapidly Exponentially Stabilizing Control Lyapunov Functions and Hybrid Zero Dynamics (IEEE TAC 2014)
Ames et al., Control Barrier Functions: Theory and Applications（CLF-CBF-QP 一节）