贝塞尔曲线轨迹

用几个控制点决定形状的光滑多项式曲线，常用来描述机器人轨迹。

贝塞尔曲线由雷诺公司工程师 Pierre Bézier 在 1960 年代推广用于车身设计，雪铁龙的 de Casteljau 更早独立提出了它的计算方法。n 阶曲线由 n+1 个控制点 P₀…Pₙ 决定：B(s) = Σᵢ C(n,i)(1−s)ⁿ⁻ⁱ sⁱ Pᵢ，参数 s 从 0 走到 1，C(n,i) 是组合数。它适合做轨迹有三点原因：曲线必过首尾控制点；起点和终点的切线方向由相邻控制点决定，便于和前后段衔接；整条曲线落在控制点围成的凸包内，控制点避开障碍，曲线就不会越界。中间控制点不在曲线上，只负责拉动形状。机器人里常用于足端摆动轨迹和末端路径平滑，混合零动态方法也用贝塞尔多项式描述步态参考轨迹。长路径一般用多段低阶曲线拼接，而不是一条高阶曲线。

例子MIT 开源的 Cheetah-Software 用三次贝塞尔曲线生成摆动腿轨迹：水平方向从起点平滑过渡到落脚点，竖直方向前半段升到抬腿高度、后半段落回地面，再对曲线求导直接得到足端速度和加速度。

也叫

贝塞尔曲线、Bezier curve、贝塞尔多项式

相关

足端轨迹规划、三次样条插值、五次多项式插值、最小加加速度轨迹、路点、混合零动态

来源

Wikipedia: Bézier curve
MIT Cheetah-Software: FootSwingTrajectory.cpp（Currently uses Bezier curves like Cheetah 3 does）